2016학년도 2학기 수학⋅정보통계 학부

졸업고사 예상문제

* 해석학 *

1. 수열 [eqn: <a _{n} >]에서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _n} =l] 을 [eqn: epsilon -N] 논법으로 표현하시오.

2. 함수 [eqn: y=f(x)]에서 [eqn: lim _{x -> a} {} f(x)=l] 을 [eqn: epsilon - delta] 논법으로 표현하시오.

3. 수학적 귀납법을 설명하시오.

4. 상한(supremum) 또는 최소상계를 설명하시오.

5. 하한 또는 최대하계를 설명하시오.

6. Cauch 수열의 정의를 쓰시오.

7. Rolle의 정리를 쓰시오.

8. 평균값 정리를 쓰시오.

9. 정적분의 정의를 쓰시오.

10. 미분의 정의를 쓰시오.

11. 함수 [eqn: f:` VecR -> VecR]가 다음과 같이 정의된다고 하자.

[eqn: f(x)`=` {cases{x ^{2} `````````````(x는`유리수일`때)&#eqalign{# 0`````````````````(x는`무리수일`때)}&}}]에서 [eqn: f]는 [eqn: x=0]에서 미분가능함을 보이고 [eqn: f ^{prime } (0)]을 구하여라.

12. 다음을 계산하시오.

(1) [eqn: lim _{x-> 0+} {( {1} over {x} -cot`x)}]

(2) [eqn: lim _{x -> {pi } over {2}} {`tan ^{2} x} `log(sin`x)]

13.  [eqn: VecR]의 부분집합 [eqn: E]의 최소상계(the least upper bound)가 [eqn: M]일 때, 집합 [eqn: -E`=`]{[eqn: -x□x IN E]}의

최대하계(the greatest lower bound)는 [eqn: -M`] 임을 증명하시오.

* 선형대수학 *

1. A =[eqn: pmatrix{3&4&0&0&0#2&5&0&0&0#0&9&2&0&0#0&5&0&6&7#0&0&4&3&4}] 의 행렬식을 구하시오.

2. A =[eqn: pmatrix{1&4&0#0&2&3#0&4&5}] 의 역행렬을 구하시오.

3. [eqn: cases{```x`-`2y````````````````=```````1#```y`+``3z````````````````=``-1#```x`-``y``+````z`=```````0}]  연립방정식을 cramer의 법칙으로 구하시오.

4. linear map를 정의하시오.

5. [eqn: u]=(1, -2, 3, -4), [eqn: v]=(5, -4, 5 7)[eqn: IN ℝ ^{4}]의 Vector라 할 때 Dot product를 구하시오.

6. [eqn: u]=(0, -1, 2, -3)의 길이를 구하시요.

7. A=[eqn: pmatrix{1&1#0&1}] 과 가환이 되는 모든 행렬 M=[eqn: pmatrix{x&y#z&t}]를 구하시오.

[Hint : AM=MA가 만족하도록 미지수를 구하면 됨.]

8. [eqn: v IN ℝ ^{3}], [eqn: v]=(2, 3, 4)라 할 때 [eqn: e _{1}]=(1, 0, 0),[eqn: e _{2}]=(0, 1, 0),[eqn: e _{3}]=(0, 0, 1)의 일차결합으로 표현하시오.

9. A=[eqn: pmatrix{5&2#0&x}]가 [eqn: f(x)=x ^{2} -7x+10]의 근이 되도록 [eqn: x]를 구하시오.

10. Vector space 예를 5개 드시오.

11. [eqn: F:` VecR ^{4} ` -> ` VecR ^{3}] 이 다음과 같다.

[eqn: F`(x,`y,`z,`t)`=`(x-y+z+t,`x+2z-t,`x+y+3z-3t)], [eqn: Im`F] 의 기저와 차원을 구하시오.

12. [eqn: A`=` {bmatrix{1&```2&``````3&``````````1#1&``3&`````5&``-2#3&``8&``13&`-3}}]일 때 [eqn: A:` VecR ^{4} ` -> ` VecR ^{3}]의 선형함수의 [eqn: Ker`A]의 기저와 차원을 구하시오.

13. [eqn: A`=` {bmatrix{1&```1&```2#0&```3&```2#1&```3&```9}}]의 특성다항식을 찾으시오.

* 기초통계학 *

1. 어느 통계학 강좌 수강 학생 중에서 20%가 A학점을 받았으며 1학년 중에서 A학점을 받은 학생은 전체 수강 학생의 15%라고 한다. 이제 랜덤하게 뽑은 학생이 A학점을 받았을 때 그 학생이 1학년일 확률은 얼마인가?

2. 모집단과 표본을 설명하시오.

3. 어느 큰 항공회사는 국내선의 경우 자기 회사 항공권을 예약한 승객 중 10% 정도가 도중에 예약을 취소한다는 사실을 과거의 경험으로 알았다. 어느 특정한 날의 항공권을 예약한 승객이 1,000명이라면 이 중 몇 명 정도가 도중에 예약을 취소한다고 기대되는가? 예약을 취소하는 승객의 수의 표준편차는 얼마인가?

4. 소득에 관한 통계에서 평균보다 중앙값이 대푯값으로서 많이 사용되는 이유를 설명하시오.

5. 흰 공 4개와 검은 공 8개가 들어 있는 항아리에서 비복원추출로 랜덤하게 5개의 공을 뽑을 때 2개의 흰 공이 뽑힐 확률을 구하시오.

6. 우리나라 대학 신입생 중 남학생의 신장은 평균이 167.5㎝이고 표준편차가 5㎝ 인 정규분포를 따른다고 하자. 이 때 100명의 남자 신입생을 랜덤하게 뽑아 평균 신장을 잴 때, 그 값이 169㎝ 이상이 될 확률을 구하라.

7. 특정한 자동차 부품이 주간에 65%, 야간에 35%가 생산된다고 한다. 주간에 생산된 것 중에는 5%가, 야간에 생산된 것 중에는 8%가 불량이라고 한다. 한 생산관리자가 하루 전체 생산제품에 대하여 검사한다고 한다. 하나의 부품이 불량이라고 판정되었을 경우에 그것이 주간에 생산된 것일 확률을 구하여라.

8. 어떤 신형 자동차의 1리터당 주행거리를 알아보기 위하여, 10대를 랜덤하게 추출하여 실험한 결과 아래의 표 7과 같은 데이터를 얻었다. 1리터당 평균 주행거리의 95% 신뢰구간을 구하라. 단, 1리터 당 주행거리는 정규분포를 따른다고 한다.

표 7 주행거리 (㎞/리터)

17.2	16.9	17.6	18.0	17.4	16.3	15.8	17.2	17.3	16.0

9. 정상적인 사람과 신장병이 있는 사람의 항생제 알레르기 비율을 알아보기 위하여 조사하였다. 정상인은 100명 중에 21명이, 신장병이 있는 사람은 100명 중 38명이 알레르기 반응을 보였다. 알레르기 비율의 차에 대한 95% 신뢰구간을 구하라. (단. [eqn: z_{ 0.05}=1.645,~z_{ 0.025}=1.96] )

10. 지난달에 어느 TV 방송국의 저녁 뉴스시간은 시청률이 38%로서 상당히 높은 것으로 나타났다. 이 시청률이 이 달에도 변함이 없는지를 알아보기 위해 200세대를 전화번호부에서 랜덤하게 뽑아 조사한 결과, 그 중에 64세대가 이 방송국의 뉴스를 시청하고 있는 것으로 나타났다. 시청률이 변동되었다는 근거가 있는가? 유의수준 5%에서 검정하라. (단. [eqn: z_{ 0.05}=1.645,~z_{ 0.025}=1.96] )

11. 어느 산부인과 병원에서는 신생아의 경우 남아와 여아의 체중에 차이가 있는지를 알아보기 위해 다음의 자료를 얻었다.

	표본크기	표본평균	표본표준편차
남 아	[eqn: n _{1} =30]	[eqn: bar { x _{ 1} }=3.21(kg)]	[eqn: s=0.5(㎏)]
여 아	[eqn: n _{2} =30]	[eqn: bar { x _{ 2} }=3.08(kg)]	[eqn: s=0.6(㎏)]

남아와 여아의 체중이 다르다고 할 수 있는지를 유의수준 5%에서 검정하라. (단. [eqn: z_{ 0.025}=1.96] )

12. 특정 피임약이 사용자의 혈압을 저하시키는지를 알아보기 위하여, 10명의 여성을 대상으로 피임약 사용 전, 후의 혈압을 측정한 결과 다음의 자료를 얻었다.

번호	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
사용 전([eqn: x_1])	75	80	72	76	70	80	78	82	90	85
사용 후([eqn: x_2])	70	78	75	70	65	80	70	80	85	86

이 데이터에 의하면, 피임약은 혈압을 저하시킨다고 할 수 있는가? 유의수준 5%에서 검정하라.

13. 심리학 실험에 관한 한 잡지에 지능지수([eqn: x])와 최면에 민감한 정도를 나타내는 점수([eqn: y])에 관한 다음의 통계량이 보고되었다.

[eqn: n=32], [eqn: sum _{ i=1} ^{n }x_{i}=3893], [eqn: sum _{ i=1} ^{n }y_{i}=290], [eqn: sum _{ i=1} ^{n }{x_{i}^2}=478537], [eqn: sum _{ i=1} ^{n }{y_{i}^2}=4160], [eqn: sum _{ i=1} ^{n }{x_{i}y_{i}}=36473]

이 통계량들로부터 표본상관계수를 구하라.